Vorzeichenwechsel-Kriterium



Gib hier deine Funktion ein.
Eingabetipps: Gib als 3*x^2 ein,
als (x+1)/(x-2x^4) und
als 3/5.



Wofür braucht man das Vorzeichenwechselkriterium?

Um zu unterscheiden, ob eine Funktion, deren Ableitung ist, einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt hat. Drei Beispiele, in denen die Funktion jeweils im Punkt (1|2) die Steigung hat:

Diese Funktion hat bei (1|2) Steigung und einen Hochpunkt. Bei steigt der Graph, sprich, die Ableitung ist hier größer als . Bei fällt der Graph, sprich, die Ableitung ist hier kleiner als . Hat eine Funktion also einen Hochpunkt, dann ist vor diesem Hochpunkt das Vorzeichen der Ableitung ein + und dahinter ein -. Die Ableitung macht also einen Vorzeichenwechsel von + nach -.



Diese Funktion hat bei (1|2) Steigung , aber einen Tiefpunkt. Bei fällt der Graph, sprich, die Ableitung ist hier kleiner als . Bei steigt der Graph, sprich, die Ableitung ist hier größer als . Hat eine Funktion also einen Tiefpunkt, dann ist vor diesem Tiefpunkt das Vorzeichen der Ableitung ein - und dahinter ein +. Die Ableitung macht also einen Vorzeichenwechsel von - nach +.



Diese Funktion hat ebenfalls bei (1|2) Steigung , aber weder einen Hoch- noch einen Tiefpunkt. Man sieht, dass der Graph sowohl bei als auch bei steigt. Macht die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel, dann hat man offenbar keinen Extrempunkt. Einen solchen Punkt (der kein Extrempunkt ist, aber trotzdem Ableitung hat) nennt man Sattelpunkt.

Wie wende ich das Vorzeichenwechselkriterium an?

  • Zuerst leitest du deine Funktion ab.
  • Dann bestimmst du die Nullstellen der Ableitung. Nur diese Nullstellen können x-Koordinaten von Hoch- oder Tiefpunkten sein.
  • Als letztes setzt du Werte in der Nähe der Nullstellen in die Ableitung ein. Macht die Ableitung in der Nähe der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel, so hast du einen Extrempunkt gefunden. Sonst nicht.
  • Wieso heißt das Vorzeichenwechselkriterium hinreichendes Kriterium?

    Dass die Ableitung gleich ist, ist notwendig für einen Extrempunkt (soll heißen: muss an einem Extrempunkt so sein). Es ist aber nicht hinreichend für einen Extrempunkt, was da heißt, nur weil die Ableitung ist, muss man noch lange keinen Extrempunkt haben (siehe oben beim Sattelpunkt).
    Wenn die Ableitung aber nicht nur ist, sondern sogar einen Vorzeichenwechsel macht, dann muss man einen Extrempunkt haben. Man sagt in der Mathematik, Ableitung und Vorzeichenwechsel ist hinreichend dafür, dass wir sicher sagen können, hier ist ein Extrempunkt.

    Kann ich mal eine Beispielaufgabe sehen?

    Klar.
    Ableiten der Funktion
    ( Ableitung von ) + ( Ableitung von )
    Die Ableitung von ist also .
    Ableitung vereinfachen:
    Also lautet die erste Ableitung:
    Zweite Ableitung, also Ableitung der Funktion :
    ( Ableitung von ) + ( Ableitung von )
    Die Ableitung von ist also .
    Ableitung vereinfachen:
    = ( Multipliziere und )
    Also lautet die zweite Ableitung:
    Dritte Ableitung, also Ableitung der Funktion :
    Also lautet die dritte Ableitung:

    Extrempunkte gesucht.
    Notwendiges Kriterium: Nullstellen der ersten Ableitung finden.

    Nullstellen gesucht von
    ( Bringe negativ auf die andere Seite. )
    ( Teile auf beiden Seiten durch )
    ( Auf beiden Seiten Quadratwurzel ziehen. )
    ( Ziehe die Wurzel aus )
    ( Ziehe die Wurzel aus )
    mögliche Extremstellen bei {;}
    Vorzeichenwechsel-Kriterium: Ist bei ein Extrempunkt?
    Setze -2 und 0 in die erste Ableitung ein.
    Wert -2 in einsetzen:
    ( Rechne hoch aus. )
    ( Multipliziere und )
    ( addiere und )
    Wert 0 in einsetzen:
    ( Rechne hoch aus. )
    ( Multipliziere und )
    Vorzeichenwechsel von + nach -, also wird bei ein Maximum angenommen.
    Wert -1 in einsetzen:
    ( Rechne hoch aus. )
    ( Multipliziere und )
    ( addiere und )
    Hochpunkt (-1|2)
    Vorzeichenwechsel-Kriterium: Ist bei ein Extrempunkt?
    Setze 0 und 2 in die erste Ableitung ein.
    Wert 0 in einsetzen:
    ( Rechne hoch aus. )
    ( Multipliziere und )
    Wert 2 in einsetzen:
    ( Rechne hoch aus. )
    ( Multipliziere und )
    ( addiere und )
    Vorzeichenwechsel von - nach +, also wird bei ein Minimum angenommen.
    Wert 1 in einsetzen:
    ( addiere und )
    Tiefpunkt (1|-2)

    Kann ich noch eine Beispielaufgabe sehen?

    Jep, das hier ist Mathepower. Gib oben doch einfach deine eigene Beispielaufgabe ein und sie wird genauso gelöst.